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難関大学数学の格の違いを一発で分からせる3問

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どうも高校入試期間に入ってまた少し書く余裕が…ない!

明日は第4回全統高2模試やないか!

まあまあまあまあ前日でどうこう変わるもんでもないんでOKでしょう!

さて皆さんこの一週間どうでした?

このブログロスに陥ったでしょう(*´ω`*)

良かったですね♫今日は読めますよ!!

それじゃあみなさん待ちきれなそうなんで早速本題に入りましょう!

(高校入試期間は後明日の全統模試の感想についてをあげる予定です。普通は1週間から2週間に1回更新です。)

 

 

 

 

難関大学数学の格の違いとは

僕は文系です。理系は尊いです。

でも数1A数2Bまでならそこそこ自信あるんで今日は語らせてください。

これまで結構数学の問題を解いてきましたが、ある一定の大学以上には明確な壁というかそうの違いを感じました。

その壁というのも、

    早慶以上です。

はい、よく言いますね。だけど確かに違います。

もちろんMARCHまでも十分手応えがありますし、早慶以上の難問も出ます。

でも圧倒的に早慶以上の方がコンスタントに格の違いを感じる問題がでます。

その格の違いは一言で言えば、

パターン化できない

これに尽きます。これまたよく言いますね。

でも皆さんパターン化できないというのが具体的にどういうことかわかりにくいですよね。

そこで僕が2年間で学んだ数学の問題から3問、難関大の格の違いを分からせる問題を選りすぐってきたのでご覧ください。

パターン化できない問題を少しパターン化できるかも?(逆説)

 

難関大学数学を解く上での心構え

完全に塾講師の受け売りですが大いに納得したので皆さんにも紹介します。

そもそも難関大の数学とは、

  1. 受験生をできるだけ落とすために作っている(模試は偏差値の差が出るように簡単な誘導がついてるから大違い)
  2. 数学のプロ達が1年かけて検討して作ったわずか数問(これってすごいこと)
  3. あくまで途中の記述がメイン(答えに配点0なこともあるらしい)
  4. 誘導はなくて当たり前(問題集とかは甘すぎる)

こういうことなんです。

つまり学校のテストとはそもそも違うわけですね。

これをまず頭に入れて僕は解いてます。(でもやっぱ解けない)

 

解き方の指針

これも受け売りです。

明確な解き方を提示するわけでなく普段から心がけたいことです。

  1. なぜ問題作成者が条件をこうしたか考える。(普段の問題集は条件を甘くしてくれていることを常に意識する
  2. 問題文から分かることを全部書いてから問題を見る

この他にもいろいろありましたが…忘れました笑(THE 文系)

この後紹介する問題でも言及するのでぼんやりでいいから理解してみてね。

これをまず頭に入れて僕は解いてます。(//←ちょんちょんの出し方が分からないからスラッシュ2個で再現することを思いついた天才が僕です)

 

 

① 首飾り問題の究極形

まずはこちらをご覧ください。

流石にこれを解けない人はいませんよね?えっいますか?

これがいわゆるパターン化された問題です。

一応答えはこちらです。(字が汚くてすまぬ)

ここで何が言いたいかというとどうして問題作成者は白玉を1個にした上に、赤玉と青玉を共に偶数としたんでしょうか。

これが甘やかしです。

早速見つかりましたね。過保護かよ全く。

要は白玉が1個あると解答のように固定が楽なんですよね。

そして赤と青が偶数だと追加1のような場合分けが必要なくなります。

これが甘やかし条件なんです。

しかし実際の難関大は甘くないです。

さて第1問はこいつだああああああああああああ!

圧倒的短文!!

難関大の数学って時々すごい短文ですよね。(みんな大好き「tan1°は有理数か。」然り←この問題文の。を抜かす奴は雑魚。「君の名は。」の。を抜かす奴はもっと雑魚)

それでいて大体が難しい問題です。これが先ほど言った数学のプロが1年間かけて作った問題たる所以です。

さてこの問題、実は上の問題から白玉1個を抜いているだけの問題なんです。(色はどうでもいいからね)つまりわずかこの条件がつくかどうかで数学は難易度が一変するんです。

これが数学の面白さですよねぇとかいう奴うざいですよねぇ。

これは某医学部ででたことがある問題らしいです。

それでは制限時間20分で受験生解いてみて!(多分誰もやらない)

 

解答

さて解説しようにも文じゃ難しいですね。

僕がYoutuberなら解説できたんですが根っからのオタクなんで顔出しなんてできそうにもありません。詳しい解説は学校の先生に解かしてみて、聞いてください。(解けない可能性大)

まあ一応説明すると 

  1. 赤玉の方が一応白玉より少ないから赤玉が隣り合う個数で場合分け
  2. 赤玉が隣り合う個数は4と(3,1)と(2,2)と(2,2,1)と(1,1,1,1)の5通りあるんでその全てについてネックレスなので対称があるかどうかを含めて吟味する。(激ムズ)
  3. 全部の場合を足して完成

これを本番解けたやつは脅威ですわ。

もうすでに難関大学の数学の格を感じているでしょうがまだまだありますよ!(ただしこれが一番むずいかもしれない)

どんどんいきましょう!

 

② 全ての整数に成り立つということは…

これは3問の中では比較的簡単な方かもしれません。

ですがこれまた問題文を本当に理解しているかどうか確かめる上で非常に重要な問題ですし、この問題から発展した問題もたくさんあるんで紹介します。

証明問題ですね。難関大学と他の大学の数学の違いに証明問題の数というのもあります。もちろん難関大が圧倒的に証明問題を好みます。そもそも数学の試験で難関大学が確かめたいのは「人に説明する力あるんけ?オラオラぁ」ですから証明問題はうってつけなんですよね。実際2019東大数学(理科)でも第4,5,6問で程度の差はあれ証明を求めてきました。

 

それでは制限時間20分で解いてみてください。

 

 

解答

どうです?解けましたか。まあ厳しいでしょうねええ。

えっまさかΣ(゚口゚;

 数学的帰納法使った馬鹿おる?

全ての整数→あっ!数学的帰納法だは馬鹿の一つ覚え、まさにパターン学習です。

問題文をよく見てください。「全ての整数 について」と書いてあります。

数学的帰納法は普通全ての整数nについて証明するものですよね?

そしてkはn=k,n=k+1のときに使います。

だから問題文がnじゃない時点で数学的帰納法ではないです!(断言してもいい)もしかしたら「えー、k=n,k=n+1として証明させるという普段のパターンとは違う解き方をさせるタイプの問題じゃね?難関大じゃん!」という人もいるかもしれません。

そういう人は、

黙らっしゃい。

難関大数学がパターン化していないとはそういうことではない。

あくまで数学で慣習的に使われている文字は尊重します。

そういうところの勝負じゃないんでʅ(◞‿◟)ʃ

 逆にその文字の違いで受験生を引っ掛けようとする大学ならこっちから願い下げです。

 

さて少し熱くなってしまったが冬だから良いでしょう。

この問題の解き方としては

  1. 全ての整数kについて成り立つ!→じゃあ1,0,-1を入れても成り立つ!(たまたま見つけた数字ではない。裏でいろいろ代入実験して都合の良かった数字だけをたまたま見つけたように解答欄に書くのが基本。採点者はお前の実験の苦労を見たくないんじゃ。まあでもなんでも入れていいからといって100とか200とか入れるやつはセンスないんでようこそ文系へ)
  2. 代入することで正しいことを確かめる(これはあくまで必要条件であることを確かめただけ。十分条件であるかを確かめられた?)
  3. 求められた条件をもとに十分条件であることを確かめ必要十分条件であると証明
  4. 以上で証明終わり

全ての整数について成り立つことからどの数字を入れても成り立つことへの頭の転換が非常に難しい上に必要十分条件の本質を理解してなきゃ解けません。

しかしこういう系の問題は大体こうなんである意味パターン化できるかもしれません。

全ての整数が成り立つ→実際に数字を入れて必要条件を確かめる。」

 この流れは非常に使えます。高3すいませんねぇ。おそらく読んでないでしょ。もし読んでたら受かってたかもしれないのに!!

 

 それではラスト!

 

③ 二次関数簡単だわあ←はあ?💢

きたああああああ天下の京大さまさまです。

万が一東大に落ちてしまったら後期の特色入試で法学部を受ける予定です。(後期は北大法学部と迷い中←大好きな幕末志士の出身校) 

 一見簡単に見えるでしょ?

無理なんだなああああああこれがあwww(祝 恥ずかしくて使わなかったw解禁!)

 まあ30分で解いてみてください。これ解けるのは神です。コメントで煽ってこい。

 

解答

この問題の難しいところを解説します。

  • グラフを書こうとするが書けない(xの係数がaだから)→パニック
  • 数字で絶対値を外して±つけるのはよくやるがxの方程式でそれをやる発想に至らない→大パニック
  • ±をつける発想に至った賢き者も共通解を見逃してしまう→採点中発狂&パニック

ざっくりいうとこういうことです。グラフを書いて解くパターンが使えないので激ムズですね。もう難しいとしか言えません。

いいですか皆さん。

これが難関大の格です。

 

感想

実は今日あげた3問全部数1Aなんですよね。

これらの問題が僕がいつも数1Aの方が数2Bより難しいと主張する理由の一つです。

数3がどうかは分かりませんがパターンがないという点において数1A(特にA)に勝ることはないんじゃないかと思います。って知恵袋にありました!(転嫁が激しい)

でも皆さん。僕と同じ高2の皆さん。あと1年数学をやり込めば満点とは言わないでも部分点を取れるようには必ずなると思います。1問1問を解けなかったたびに悔しいと思う気持ちさえあれば必ず伸びると思います。(僕は解けるべき問題を解けなかったら次の日若干鬱になります。危ない人じゃないです)

つまり明日の第4回全統高2模試頑張るってことよ!

文系の意地見せたるでえええええ。(数学もちろん嫌いです)

 

 

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